Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Lengkap

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Lengkap

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Lengkap

Pertidaksamaan Linear – Pertidaksamaan Linear adalah kalimat terbuka matematika yang di dalamnya ada dua variabel. Yang dimana masing-masing variabel berderajat satu dan dikaitkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan ini yaitu >, <, ≤, atau ≥.

Sehingga bentuk dari ketidaksamaan linear dapat dituliskan seperti berikut :

  • ax + by > c
  • ax + by < c
  • ax + by ≥ c
  • ax + by ≤ c

Dan contoh kalimat matematinya yaitu :

2x + 3y > 6

4x – y < 9

Kalimat terbuka tersebut di atas menggunakan tanda hubung seperti  <, >, > atau <. Yang menandakan kalimat itu adalah pertidaksamaan.

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Beda halnya dengan penyelesaian pada persamaan linear dua variabel yang wujudnya yaitu himpunan pasangan titik-titik.

Atau jika kita gambar grafiknya maka akan berupa garis lurus.

Penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel yang berupa daerah penyelesaian.

Yang di dalam praktiknya penyelesaian pertidaksamaan linear dapat berwujud daerah yang diarsir atau sebaliknya, daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ini berupa daerah yang bersih.

Dalam menentukan daerah penyelesaiannya, anda bisa melakukan langkah seperti berikut ini :

  1. Mengubah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=) sehingga akan diperoleh persamaan linear dua variabel.
  2. Gambar dari grafik/garis dari persamaan linear dua variabel yang tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menentukan titik potong sumbu X serta sumbu Y dari persamaan. Atau bisa menggunakan dua titik sembarang yang dilewati oleh garis. Garis tersebut akan membagi dua bidang kartesius.
  3. Melakukan uji titik yang tak dilewati oleh garis atau substitusi nilai X dan Y titik ke pertidaksamaan. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah itu adalah penyelesaiannya. Tapi bila menghasilkan pernyataan yang salah maka bagian lainnya lah yang menjadi penyelesaiannya.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang mana pengubah bebasnya berbentuk linear atau pangkat satu. Seperti kalimat matematika di bawah ini :

  • 2x ≥ 4; pertidaksamaan linear satu peubah
  • 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah
  • x – 2y ≤ 3; pertidaksamaan linear dua peubah
  • x + y – 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah

Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua peubah disebut dengan sistem pertidaksamaan linear dua peubah. Berikut ini contoh pertidaksamaan linear dari dua peubah :

  • 3x + 8y ≥ 24,
  • x + y ≥ 4,
  • x ≥ 0,
  • y ≥ 0.

Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalah pasangan yang berurutan (X dan Y) yang bisa memenuhi pertidaksamaan linear itu.

Himpunan dari penyelesaian tersebut bisa dinyatakan dengan sebuah daerah pada bidang kartesius atau bidang XOY yang diarsir.

Untuk memahami daerah himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, berikut contohnya :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear di bawah ini:

  1. 2x + 3y ≥ 12 c. 4x – 3y < 12
  2. 2x – 5y > 20 d. 5x + 3y ≤ 15

Jawab:

 

1. Langkah pertama adala lukis garis 2x + 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.

 

Titik potong garis dengan sumbu X memilki arti sebagai y = 0, dan didapatkan x = 6 (titik (6,0)).

 

Titik potong garis dengan sumbu Y artinya x = 0, didapat y = 4 (titik (0,4)).

 

Garis 2x + 3y = 12 tersebut kemudian akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian, maka dilakukan dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh disini kita ambil titik (0,0). Lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

2 x0 + 3x 0 < 12

0 < 12

 

Sehingga, 0 ≥ 12 salah, yang berarti tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

 

Jadi, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

2. Langkah pertama adalah menggambar garis 2x – 5y = 20 dengan cara menghubungkan titik potong garis di sumbu X dan sumbu Y.

 

Titik potong garis dengan sumbu X,  y = 0, didapat x = 10 (titik (10,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y, x = 0, didapat y = –4 (titik (0,–4))

Garis 2x – 5y = 20 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil titik uji pada salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

2 x0 – 5 x0 > 20

0 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini:

3. Langkah pertama adalah menggambar garis 4x – 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan sumbu Y.

 

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0 didapat x = 3 (titik (3,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0 didapat y = –4 (titik (0,–4))

Garis 4x – 3y = 12 tersebut akan membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

4 x0 – 3x 0 < 12

0 < 12 (benar), yang berarti dipenuhi sebagai daerah penyelesaian.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini:

4. Langkah pertama adalah menggambar garis 5x + 3y = 15 dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X dan sumbu Y.

 

Titik potong garis dengan sumbu X maka y = 0, didapat x = 3 (titik (3,0))

Titik potong garis dengan sumbu Y maka x = 0, didapat y = 5 (titik (0,5))

Garis 5x + 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadi dua bagian.

 

Untuk menentukan daerah yang mana adalah himpunan penyelesaian. Maka kita akan melakukannya dengan cara mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.

 

Sebagai contoh kita ambil titik (0,0). Lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:

 

5 x0 + 3x 0 ≤15

0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang terdapat atau memuat titik (0,0). Yakni daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini:

Berdasarkan contoh tersebut di atas cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear adalah dengan dua peubah dapat dilakukan dengan beberapa langkah seperti berikut :

  1. Menggambar garis ax + by = c dalam bidang kartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis pada sumbu X di titik (c/a ,0) serta pada sumbu Y di titik (0,c/b ).
  2. Kita cari tahu sebuah titik uji yang berada di luar garis dengan cara menyubstitusikannya pada pertidaksamaan.

Jika pertidaksamaan mampu terpenuhi atau benar, maka daerah yang memuat titik itu yaitu daerah himpunan penyelesaian.

Jika pertidaksamaan tak dipenuhi atau salah, maka daerah yang tidak ada di titik uji itu adalah daerah himpunan penyelesaian.

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear

Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah himpunan titik-titik atau pasangan berurut X dan Y, dalam bidang kartesius yang bisa memenuhi seluruh pertidaksamaan linier di dalam sistem tersebut.

Sehingga daerah himpunan penyelesaian merupakan irisan dari beberapa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan, di dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubah tersebut.

Contoh :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di bawah ini:

3x + 5y ≤ 15 b. x + y ≤ 6

x ≥ 0                                    2x + 3y ≤ 12

y ≥ 0                                    x ≥ 1

y ≥  2

 

Jawab:

 

1. Langkah pertama adalah menggambar garis 3x + 5y =15, x = 0, dan y =0

 

Untuk 3x + 5y ≤ 15

 

Kemudian pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

3x 0 + 5x 0 ≤ 15

0 ≤ 15 (benar), yang berarti dipenuhi

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (0,0)

 

Untuk x ≥ 0, kita pilih titik (1,1) lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

1 ≥ 0 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya ialah daerah yang memuat titik (1,1)

Untuk y ≥ 0, kita pilih titik (1,1) lalu substitusikan ke dalam pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

1 ≥ 0 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, himpunan penyelesaian dari soal tersebut adalah daerah yang memuat titik (1,1).

Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas.

 

Yakni yang tertera seperti pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).

 

  1. Langkah pertama adalah menggambar garis x + y =6, 2x + 3y = 12, x = 1, dan y = 2.

 

Untuk x + y ≤ 6, kita pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

 

1 x0 + 1 x0 ≤ 6

0 ≤ 6 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaiu daerah yang memuat titik (0,0).

Untuk 2x + 3y ≤ 12, pilih titik (0,0), lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita dapatkan:

 

2 x0 + 3x 0 ≤ 12

0 ≤ 12 (benar), yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga dapat kita ketahui daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (0,0).

 

Untuk x ≥ 1, pilih titik (2,1) lalu kita substitusikan ke pertidaksamaan sehingga kita dapatkan 2 ≥ 1 (benar) yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang memuat titik (2,1).

 

Untuk y ≥ 2, kita pilih titik (1,3) lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh 3 ≥ 2 (benar) yang berarti dipenuhi.

 

Sehingga, himpunan penyelesaiannya berada di daerah yang memuat titik (1,3).

Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah irisan dari ketiga daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas.

Seperti yang terlihat pada gambar di samping (daerah yang diarsir).

Sekian pembahasan materi pertidaksamaan linear dua variabel lengkap dengan contoh soal dan gambarnya. Semoga dapat dipahami dan dapat membantu anda dalam menyelesaikan soal matematika yang serupa.

Baca Juga :